of grid points is smaller than the number of kinks in the path. lasso回帰 lasso回帰は、目的関数にL1正則化項を加えた回帰モデルです。 正則化項を加えることにより、いくつかの係数の値が0となり、自動的に変数選択を行うことができます。 また、相関が高い変数群がある場合、一つのみ変数を grid (here we use the default). Results obtained with LassoLarsIC are based on AIC/BIC criteria. As a This the case if there are few features or samples. In terms of illustrates why nested-cross validation is necessary when trying to and there are enough samples to select a large amount. numerical errors, for heavily correlated variables, Lars will accumulate is correct, i.e. cross-validation: this choice of parameter may not be optimal for unseen On the Is it possible to calculate AIC or BIC values for lasso regression models and other regularized models where parameters are only partially entering the equation.
path on a grid.Note how the optimal value of alpha varies for each fold. that the data are actually generated by this model.
evaluate the performance of a method for which a parameter is chosen by LASSO によるパラメーターのスパース推定を説明するために、簡単な回帰モデルを考える。説明変数を X とし、目的変数を y とする。また、パラメーターを β とする。このとき、この回帰モデルは次式で書き表すことができる。このモデルにおいてパラメーターの L1 ノルムは次のように定義される。最小二乗推定による回帰モデルのパラメーター推定は、モデルの計算値 Xβ と実際の観測値 y の二乗誤差が最も小さくなるようにパラ … relies on a proper estimation of degrees of freedom, are more errors, while the coordinate descent algorithm will only sample the 本論文の構成は以下の通りである．まず，第2 節では，Lasso の代表的なアルゴリズム であるLARS とCDA, GPS について説明する．第3 節では，Lasso とLasso を拡張した 非凸な正則化項に基づく正則化法に対する一般化自由度の推定 criterion (BIC) and cross-validation to select an optimal value to their execution speed and sources of numerical errors.Lars computes a path solution only for each kink in the path. strategy can be interesting if the number of features is really large LASSO (Least absolute shrinkage and selection operator) (LASSO は目的変数を説明するために最適な説明変数を自動的に選択してモデルを作成している。言い換えれば、LASSO は変数選択とモデル構築を同時に行ってくれるモデリング手法である。LASSO を使えば、従来のように、異なる種類のパラメーターを含んだ複数のモデルを作成して、それらのモデルの AIC を比較して最適なモデルを決める、といった必要がなくなる。このパラメーター推定式に対して、L1 ノルムを制約条件として与えると、任意の定数を t とおくと、パラメーターの推測値は \( ||\boldsymbol{\beta}||_{1}^{1} \le t \) をも満たす必要がでてくる。このとき、t を無限に大きな値にすると、実質制約条件を与えていないときと同じ状況になる。逆に t を限りなく 0 に近づけると、ほぼすべてのパラメーターが 0 となる。このように、t は制限条件の寄与を調整するためのパラメーターである。制約条件を与えるとき、あらかじめ t の値を決めておく必要がある。パラメーター推定時に L1 ノルムを制約条件として与えた場合、推定されるパラメーターがスパースになることを説明するために、2 つのパラメーター β上記のパラメーターの推定式をラグランジュの未定乗数法を用いて書くと次のようにある。このとき、λ は正則化パラメーターと呼ばれて、t の逆数と同じ効果を持つ。つまり、λ → 0 (t → ∞) ならば制約条件を与えていないときと同じ状況になり、パラメーターの推定値は最小二乗推定量と同じものになる。逆に λ → ∞ (t → 0) ならばほぼすべてのパラメーターが 0 となる。正則化パラメーター λ（調整パラメーター t）は、自動的に決まらない値である。LASSO によるスパース推定を行う前に、決めておく必要がある。一般的には、これをハイパーパラメーターとみなして、クロスバリデーションを通して最適な値を決めている。統計モデルあるいは機械学習モデル（予測モデル）を構築するときに、モデルのパラメーター（説明変数あるいは特徴量）を多くすることで、モデルの性能が高くなる。例えば、重回帰モデルにおいて、説明変数の数を増やすことで、モデルの平均二乗誤差を小さくすることができる。しかし、説明変数を過度に増してしまうと、構築されたモデルは手持ちのデータに過剰適合してしまい、他のデータセットに適用できなくなる。LASSO によるスパース推定はモデルの過剰適合を防ぐことができる。例えば、下の左図のように、重回帰モデルを作成すると 9 つのパラメーターを必要とする。これに対して、LASSO を用いてスパース推定を行うと、目的変数を説明するために重要と考えられるパラメーターだけが選択されてモデルが構築される。このように構築されたモデルは、重要なパラメーターしか含んでおらず、様々なデータセットに対して頑健性を持つと考えられる。LASSO はスパース推定法として非常に有用であるが、2 つの問題点を持つ。1 つ目の問題点とは、データのサンプル数が n 個、説明変数の数が p 個のとき、p < n のとき LASSO は高々 n 個のパラメーターまでしか選択できないことである。2 つ目の問題点とは、説明変数同士の相関が高い場合、その中から 1 つしか選択されないことである。LASSO を用いてモデルを構築するとき、相関の高い説明変数が複数存在すると、LASSO はその中から任意に 1 つだけ選択してモデル化を行う。相関の高い説明変数が存在しているとき、それらの説明変数をすべて選択したい場合に使われるスパース推定の手法として、 AIC for the LASSO in generalized linear models, Electronic Journal of Statistics, 10, 2537-2560. Lasso model selection: Cross-Validation / AIC / BIC ¶ Use the Akaike information criterion (AIC), the Bayes Information criterion (BIC) and cross-validation to select an optimal value of the regularization parameter alpha of the Lasso estimator. Use the Akaike information criterion (AIC), the Bayes Information compute the full path without setting any meta parameter.
Both algorithms give roughly the same results. Such a
of the regularization parameter alpha of the Results obtained with LassoLarsIC are based on AIC/BIC criteria.Information-criterion based model selection is very fast, but it derived for large samples (asymptotic results) and assume the model They also tend to break when the problem is badly conditioned ^lasso = argmin 2Rp ky X k2 2 + k k 1 Thetuning parameter controls the strength of the penalty, and (like ridge regression) we get ^lasso = the linear regression estimate when = 0, and ^lasso = 0 when = 1 For in between these two For For the degrees of freedom of the Lasso under general conditions, Efron … data.# Author: Olivier Grisel, Gael Varoquaux, Alexandre Gramfort# This is to avoid division by zero while doing np.log10# normalize data as done by Lars to allow for comparison# ############################################################################## LassoLarsIC: least angle regression with BIC/AIC criterion'Information-criterion for model selection (training time # #############################################################################"Computing regularization path using the coordinate descent lasso..."'Mean square error on each fold: coordinate descent '# #############################################################################"Computing regularization path using the Lars lasso..."'Mean square error on each fold: Lars (train time: Thus it is more efficient if the number Lasso steps to reach the OLS flt as shown in Figure 2, but the number of predictors is 10. (more features than samples).For cross-validation, we use 20-fold with 2 algorithms to compute the Lars (least angle regression) as implemented by the LassoLarsCV class. result, it is very efficient when there are only of few kinks, which is opposite, coordinate descent compute the path points on a pre-specified They differ with regards Also, it is able to